教育研究專刊國中數學
國中代數的地基，
九成埋在小學
伴伴辦學把國小到國中的數學整理成 2,505 個知識點，並逐一判定它們之間的先後關係，回答一個補教現場的老問題：孩子這一課學不會，到底該回去補哪一年
資料範圍 115 學年上學期 · 國小一年級至國中三年級 · 康軒／翰林／南一 三大版本
教育研究專刊會考考什麼，我們前三期談過了。這一期換一個問題：孩子明明在補，為什麼還是不會？
伴伴辦學把國小一年級到國中三年級的數學，整理成 2,505 個知識點。每一個都是孩子真的要學會的單一觀念，像「什麼是公因數」「該先算乘除還是加減」這種顆粒度，不是章節名稱。
真正花工夫的是它們之間的關係。我們判定了 738 條跨年級的先修關係，也就是「要會這個，得先會那個」，每一條都寫得出理由。順著往回走，一堂國中的課，地基實際上鋪了幾年就看得出來。
636 個國中數學主題裡，122 個可以明確追溯到國小，回溯跨度最長 6 個年級。
代數 92%、數與量 56%、幾何只有 21%。代數補不起來多半是國小的帳，幾何不是。
分配律。小三的「先加後乘」與小五的「分配律的意義」，各自往下扛著 7 個國中主題，是全表最高。
補教老師：排補救課時，知道要往回退到哪一冊哪一單元，而不是從國一重上一遍。
機構管理者：在諮詢桌上跟家長解釋「為什麼要從小五開始補」，講得出依據。
家長：每一站都附一句今晚就能問孩子的檢查題，答不出來的那一站，就是該補的地方。
本期僅涵蓋數學、115 學年上學期、康軒／翰林／南一三大版本。其他科目與下學期的跨年級先修路徑尚在建置中，本文不做延伸推論。
這一期的每個結論，背後都是一句「要會這個，得先會那個」的判斷。所以先說清楚這些判斷怎麼來的，以及我們刻意沒有算進去什麼。
以課本的每一節為單位，往下拆到「一個孩子真的要學會的觀念」為止。例如國一上「正負數的乘除」這一節，會分成正負數乘法符號規則、特殊值的乘法性質、正負數四則混合運算等 7 個，每一個都寫下它的意思、怎樣才算學會，以及一句家長可以直接問的檢查題。
分兩種。一種只是課本的編排順序：這一節剛好排在那一節後面。另一種才是真正的先修：這個知識點要成立，得先有前面某一年的哪個知識點，而且說得出為什麼，例如「四則運算的順序延伸到正負數的運算」。
本報告只採計第二種。
課本裡前後相鄰的知識點有 3,671 組，但那多半只是編排順序，不是真的非學不可的先後。如果把它們也算進來一路往上追，會得到「國三的幾何要回溯到小一數數」這種看起來很驚人、實際上沒有意義的結論，而且每個早期知識點看起來影響力都一樣大。
本報告只採計 738 條說得出理由的跨年級先修關係。這樣數字會變小，但每一條都經得起被問一句「為什麼」。
先修路徑說的是「知識結構上的先後」，不是「這孩子一定卡在這裡」。它縮小要找的範圍，不取代實際檢測。所以每一站我們都附上檢查題，讓判斷回到孩子身上。
把 636 個國中數學主題逐一往回走，其中 122 個（19%）可以一路追到國小。這 122 個當中，回溯跨度的分布是這樣的：
從國中主題往回追，最早抵達的年級與它自己差幾年
最常見的是跨 2 年（50 個），也就是國一的內容卡在小五、小六。這正是最容易被忽略的區間：家長通常覺得「國小的都學過了」，而國中老師預設「這些應該會了」。
每一張卡片代表一個後面才學到的觀念，虛線往下收束到同一個早期知識點。這是先修圖譜最常出現的形狀：很多課，靠同一塊地基。
把國中主題按領域拆開，差異大到不能忽略：
| 國中數學領域 | 主題數 | 有國小先修 | 比例 |
|---|---|---|---|
| 代數 | 229 | 211 | 92% |
| 數與量 | 209 | 117 | 56% |
| 統計與機率 | 24 | 11 | 46% |
| 幾何 | 162 | 34 | 21% |
| 關係 | 12 | 2 | 17% |
同一張書桌，兩種地基。左邊是代數：底下疊著六層更早的觀念；右邊是幾何：地基只有一層。
代數（92%）：孩子解不出一元一次方程式，往往不是不懂移項，而是分數、約分、四則運算順序那幾層沒鋪好。從國一重上一遍通常無效，因為每一次都會在同一個地方卡住。要往回退。
幾何（21%）：多半是國中當下的帳。往回補國小單元幫助有限，該加強的是當下的圖形辨識、輔助線與推理表達。
把代數與幾何混在同一套「數學補救班」裡，用同樣的節奏上。結果是幾何的孩子被拖慢，代數的孩子繼續在同一個看不見的洞上打轉。
如果只能挑一個國小知識點來補，資料指向同一個答案：分配律。
| 國小知識點 | 年級・領域 | 往下扛著幾個國中主題 |
|---|---|---|
| 先加後乘的分配律應用 | 小三・代數 | 7 |
| 分配律的意義 | 小五・關係 | 7 |
| 約分的意義 | 小五・數與量 | 5 |
| 等值分數與最簡分數 | 小六・數與量 | 5 |
| 三位數乘法的展開原理 | 小三・數與量 | 5 |
| 分配律（乘對加） | 小五・代數 | 5 |
| 基準量與比較量意義 | 小六・關係 | 4 |
| 四則併式列式解題 | 小五・數與量 | 4 |
| 四則混合算式計算 | 小四・數與量 | 4 |
因為它是「數」跨到「式」的那道門。孩子在小學用它算 6×98 = 6×100 − 6×2，到國中要用同一件事展開 3(x+2)、提公因式、乘法公式、因式分解。差別只在符號從數字換成字母。
如果小學階段只把分配律當成一個計算技巧背下來，而沒有理解「為什麼可以拆」，國中的式子運算就會變成一整片死背。
國中數學補救班開課前，先用這 9 個知識點做前測。它們的下游影響最廣，而且題目短、好測。測出來卡住的，就是這一期課該先補的地方。
「扛著幾個」算的是直接與間接的跨冊依賴，不是題目數。它衡量的是結構上的重要性，不是考試占比。
抽象的統計不如一條看得見的路徑。下面兩條都是翰林版國一上的真實路徑，每一段的理由直接取自圖譜。
國一上 1-3 正負數的乘除
國一上 2-2 最大公因數與最小公倍數
翰林版國一上 2-2「最大公因數與最小公倍數」的 7 個知識點全部掛得到國小，是整學期地基最深的一個單元。這種單元只補當下，效果通常有限。
先修路徑最實用的地方，是它把「數學不好」這句話，換成六個具體、可以在餐桌上問完的問題。
不需要考試，也不需要糾正。只要問，然後聽孩子怎麼說。
算算看 51−21÷(2−9) 這種有括號的四則運算。
混合四則運算時，該先算乘除還是加減？
併式裡括號的那部分，在題目情境中代表什麼？
拿到兩步驟購物題，能自己說出「先算什麼、再算什麼」嗎？
「有人離開後還剩幾人」，先算加法還是先算減法？
「有 4 輛車又開來 2 輛」，車子變多還是變少？
讓孩子說出過程，不是說出答案。答案對但講不出為什麼，那一站其實也沒站穩。
這一期的路徑不是印在紙上就結束。同一套圖譜做成了一個公開的互動工具，選出年級、版本與這學期正在上的單元，就會展開那一課的完整先修路徑，每一站都附上面那種檢查題。
涵蓋康軒／翰林／南一，國小一年級到國中三年級，115 學年上學期數學。www.edubaania.com/taxonomy-map.html
上面的問題你可以自己問。想省下那個功夫、也想知道其他科目的話，AIMii 的 15 分鐘學習體檢用的是同一套圖譜，測完直接給你一份從卡點那一站開始的補強路線。
預約免費試讀：加入官方 LINE @aimii
這張地圖可掛貴單位招牌，同一套圖譜也能接進課程規劃與前後測。詳見機構／學校方案。
諮詢桌上攤得開的一張圖：不是說「我們很認真」，而是指著說明這個孩子的國一單元卡在哪一年的地基。